常数变易法

为什么写这篇文章

学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理”
这里只讲述常数变易法的原理，为什么要用常数变易法请参见参考资料《常数变易法的解释》

在学习高数的过程中，关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法，为什么可以使用常数变易法，常数变易法为什么是有效并且正确的，老师都语焉不详，一笔带过，导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释，将这个方法强行合理化。

但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解，看到直接给出来的求解公式一头雾水，再去翻书，始终还是感觉隔靴搔痒，雾里看花，始终不自在，所以上网搜索了一下，搜到了一篇相关文章（常数变易法的解释），终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想，喜不自禁。

所以在此记录下个人的理解，一则梳理自己的思路，二则可供感兴趣的同学参考，倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性，亦是幸甚。

什么是常数变易法？

有以下一阶线性微分方程：

$y' +P(x)y=Q(x) \tag1$

其中，$P(x)\not \equiv 0$ 且 $Q(x)\not \equiv 0$。

若解其对应的齐次方程：

$y' +P(x)y=0\tag2$

则易有：

$y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$

即为齐次方程的通解。

这时，我们可以用常数变易法来求非齐次方程$(1)$的通解，即将齐次方程$(2)$的通解中的常数$C$换成（变易为）一个关于$x$的未知函数$u(x)$，变易之后，非齐次方程通解表示如下： $y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3$ 于是将该通解形式代入原方程$(1)$，可以解得： $u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$ 将上式代入$(3)$式，即可解得： $y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$ 这就是所谓常数变易法。
可以看到，这里把常数 $C$ 直接代换为了函数$u(x)$ ，显得十分生硬不自然，没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍，所以想必会使很多人感到困惑。

错误的理解

对于常数变易法，我以前的理解是：
既然 $y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$ 可以使齐次方程 $y’ +P(x)y=0$ 成立，那么在其基础上增添一个函数，就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项$Q(x)$，所以可以使用常数变易法。
这样的理解是基于表面形式做出的一个解释，然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。
所以我们需要进一步探究其内在的原理。

常数变易法的原理

基本

容易理解，我们可以把任意函数表示成为两个函数之积，即 $y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4$ 对 $y(x)$ 求导，得：$y’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$

计算

将 $y(x)=u(x)\cdot v(x)$，$y’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$ 代入非齐次方程$(1)$，整理得到： $u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5$ 由解一阶线性微分方程的常用方法分离变量法容易想到，如果没有 $u(x)\cdot [v’(x)+P(x)v(x)]$ 这一项，我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。
现在单独考察 $u(x)\cdot [v’(x)+P(x)v(x)]$ 这一项。其中 $u(x)$ 不确定，不能用来保持 $u(x)\cdot [v’(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0$ ，所以考虑另一个因式 $v’(x)+P(x)v(x)$ 。显然 $v(x)$ 是不确定的，在 $u(x)$ 不确定的情况下，可以任意取值。则假设 $v(x)$ 满足 $v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6$ 观察式 $(6)$ ，可以看到其形式与式 $(2)$ 基本一致。
求解式 $(6)$，可以得其通解形式： $v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag7$ 将所得通解代入 $(4)$，则 $y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag8$ 将 $(8)$ 式代入 $(5)$ 式，得到： $u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$ 使用分离变量法，容易解得： $u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9$ 将 $(7)$ $(9)$ 同时代入式 $(4)$ ，则 $y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)$ 令$C=C_1C_2$，则得原一阶线性微分方程的通解为： $y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

推广

这一部分是在知乎看到了关于“常数变易法”在高阶作用的问题之后增补的

问题链接：常数变易法思想的来源或本质是什么？
现在有一般$n$阶线性微分方程 $P_{n}(x)y^{(n)}+P_{n-1}(x)y^{(n-1)}+P_{n-2}(x)y^{(n-2)}...+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=Q(x)\tag{10}$
由前述有，$y(x)$可以表示为$y(x)=u(x)v(x)$。
现在我们考察两函数乘积的高阶微分形式。
比较二项式展开定理我们不难发现，对$y=uv$的高阶微分具有类似的形式。
比如： $(uv)'=u'v+uv'$$$$(uv)''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''$$$$...$
从原理上来看，展开多项式的每一项都应有$n$阶微分，而这$n$阶微分分别分配在$u、v$上；对于多项式的每一项，相当于任选$k$个微分算子作用于$u$，则另有$(n-k)$个微分算子作用于$v$，与二项式展开定理本质相同，所以展开形式也应相同。
则有式$(11)$： $(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)}+C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)}+...+C_n^{n-1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_n^nuv^{(n)}\tag{11}$
将这个一般形式代回式$(10)$，假设将$u$作为主要研究对象（以$v$为主要研究对象亦可，二者地位相同），则按$u$的导数降阶排列多项式： $M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+...+M_0(x)u'+\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)u=Q(x)\tag{12}$
其中，$Mi(x)$为关于$x$的多项式。
按一阶情况下的原理，可以令多项式$\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P{n-1}(x)v^{(n-1)}+…+P{1}(x)v’+P_0(x)v\bigr)\equiv0$消去$u$项。解$v$即为解式$10$对应的齐次线性微分方程。
则剩下的式子为$$M{n-1}(x)u^{(n)}+M{n-2}(x)u^{(n-1)}+…+M_0(x)u’=Q(x) $令$\alpha(x)=u'(x)$，则上式化为$ M{n-1}(x)\alpha^{(n-1)}+M_{n-2}(x)\alpha^{(n-2)}+…+M_0(x)\alpha=Q(x)\tag{13}$$
比较式$(12)、(13)$，可以看到：通过常数变易法，成功地把求解一个$n$阶线性微分非齐次方程的问题，为了求解一个对应的$n$阶线性微分齐次方程和一个$(n-1)$阶线性微分非齐次方程的问题。

总结

很显然我们可以看到，常数变易法是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法，并非无根之萍，更不是突发奇想或是强行合理。
但是从其原理上来讲，将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的，本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。
常数变易法的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆，这里可以不必纠结。

参考资料

[1] lookof,常数变易法的解释
[2] 崔士襄,邯郸农业高等专科学校,“常数变易法”来历的探讨